Aljabar : Grup dan Subgrup --part 5--

Mungkin anda sangat bingung dengan penjelasan saya di sini yang bisa dibilang memang "quick post". Sedikit saya review saja ya, di sana saya menjelaskan mengenai apa yang disebut dengan subgrup. Subgrup adalah himpunan bagian S dari grup G yang memiliki sifat-sifat grup pada operasi hitung yang sama dengan grup G.

Seperti yang telah saya jelaskan kemarin, terdapat tiga langkah pembuktian. Pertama membuktikan terdapat anggota dalam S. Hal ini dipermudah dengan membuktikan 0 merupakan anggota S. Kedua adalah membuktikan a*b adalah anggota S, jika diambil a dan b anggota dari S. Terakhir adalah membuktikan bahwa setiap elemen dari S memiliki invers.

Selanjutnya akan saya berikan contoh seperti apa yang disebut dengan subgrup.

Contoh pertama yang saya ambil adalah grup bilangan bulat Z terhadap perkalian. Salah satu himpunan bagiannya adalah 2Z. Kita mulai akan membuktikan bahwa 2Z merupakan subgrup terhadap peralian. Pertama, membuktikan 0 merupakan anggota 2Z juga. Karena 2 x 0 = 0, sehingga terbukti 0 juga merupakan anggota 2Z. Kedua jika diambil a dan b anggota 2Z, maka dibuktikan a x b anggota dari 2Z. Diambil a = 2c dan b = 2d dengan c dan d anggota dari Z, sehingga a x b adalah 2c x 2d = 4cd = 2(2cd). Karena 2cd merupakan anggota dari Z, sehngga 2(2cd) merupakan anggota dari 2Z. Selanjutnya angkah ketiga adalah membuktikan setiap elemen dari 2Z memiliki invers. Sebenarnya membiktikan mempunyai invers inilah yang paling sulit menurut saya. Misalkan diambil a anggota 2Z, selanjutnya terhadap perkalian 2Z memiliki elemen identitas yaitu 1, dan dimisalkan invers dari a adalah b. Jika dilakukan operasi perkalian pada a dan b, harus diperoleh sedemikian rupa a x b = 1. Hal ini dapat dipenuhi jika b = 1/a. Padahal 1/a bukan merupakan anggota 2Z. Oleh karena itu terbukti bahwa 2Z bukan merupakan subgrup terhadap operasi perkalian.

Jika anda penasaran, silahkan coba dengan mengganti 2Z dengan 2R, atau mengganti operasi perkaliannya dengan penjumlahan.

Saya kira, penjelasan saya cukup jelas ya?!
Oleh karena itu, kali ini saya akhiri cukup sekian.... See you next blog....